3. SEMICAMPI

Lo studio dei semicampi (algebre di divisione non associative) e' cominciato all'inizio del secolo scorso nel contesto di algebre (L. E. Dickson 1905); essi sono stati subito utilizzati per costruire piani proiettivi non-desarguesiani (O. Veblen and J. H. Maclagan Wedderburn, 1907).

La mia ricerca in questo ambito utilizza una costruzione di proiezione per definire una vasta famiglia di semicampi di dimensione pari in ogni caratteristica p. Ingredienti particolarmente significativi nella determinazione di tale famiglia sono gli Albert twisted fields (1961) e la teoria dei polinomi proiettivi (A. W. Bluher 2004). In particolare, associando un prodotto non associativo a ogni polinomio proiettivo sopra un campo finito abbiamo ottenuto che i presemicampi descritti in questa maniera costituiscono il caso degenere della nostra famiglia e sono esattamente quelli isotopici ai semicampi di Knuth quadratici sopra il nucleo di sinistra e il nucleo di destra ([78], [87]). In caratteristica pari la famiglia determinata consiste di semicampi che non sono mai isotopici a semicampi commutativi: questo e' dimostrato in [78] utilizzando una generalizzazione di un criterio di Ganley (1972). In caratteristica dispari la situazione e' diversa. Infatti la famiglia di semicampi commutativi costruita da Budaghyan-Helleseth (2011) e' contenuta nella nostra famiglia, la quale contiene anche membri che non sono isotopici a semicampi commutativi [87].

Inoltre in [78] e [87] vengono studiati i nuclei: in caratteristica pari il problema e' completamente risolto mentre in caratteristica dispari la determinazione del nucleo centrale rimane un problema aperto.
Il caso di ordine 3^6 che viene studiato in dettaglio in [AC31]. In questo caso la nostra famiglia consiste di due semicampi, uno commutativo della famiglia di Budaghyan-Helleseth e un altro non isotopico a un semicampo commutativo.
In [AC32] si prova che una variante della costruzione di proiezione serve anche per costruire funzioni APN (Almost Perfect Nonlinear), che vengono utilizzate in vari ambiti applicativi.